COMMENT MONTRER QU’UN ENSEMBLE EST UN SOUS-ESPACE VECTORIEL

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Soit V, un espace vectoriel non vide muni d’une opération interne appelée addition ⊕ et d’une opération externe appelée multiplication * d’un élément de V par un scalaire (nombre réel) et W, un sous-ensemble non vide de V (W ⊆ V).
On dit que W muni des mêmes opérations que V, est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si, pour tout élément u et v ∈ W, et pour tout scalaire r ∈ R, on a :
– (u ⊕ v) ∈ W (Stabilité par addition)
– (r * u) ∈ W (Stabilité par multiplication)

Remarque:
Il faut prendre note que u et v sont des éléments de W et ne sont pas toujours forcément des vecteurs. Tout dépend des caractéristiques des éléments de l’ensemble W.
Par exemple :
– si W, un sous-ensemble non vide de Rⁿ, alors u et v sont deux vecteurs de Rⁿ.
– u et v sont deux polynômes de degré n si W représente un sous-ensemble de P_n(x)(ensemble polynômes de degré n).
– si W est un sous-ensemble non vide de M_nxm(ensemble de matrices de dimension nxm), alors u et v sont deux matrices de dimension nxm.

Vous l’aurez compris, les vecteurs u et v représentent les éléments de W, qui représente soit un ensemble de vecteurs, de polynômes, de matrices, de fonctions ou un ensemble quelconque.
Ici, nous allons montrer à l’aide d’un exemple typique comment montrer qu’un ensemble W est un sous-espace vectoriel de V.

1. Analyser, comprendre et interpréter la nature des éléments de W

   Avant de démontrer que W est un sous-espace vectoriel de V. Il faut d’abord comprendre la nature des éléments de W et les interpréter.
   
   Dans notre exemple, W représente l’ensemble des vecteurs de R³ qui peuvent s’écrire sous la forme (x,0,y). En d’autres termes, l’ensemble W représente tout simplement l’ensemble des vecteurs de R³ à trois composantes donc la deuxième composante est nulle.

2. Vérifier si l’élément nul de V appartient à l’ensemble W.

   L’ensemble W est un sous-espace de V s’il contient l’élément nul de V. Un élément nul O d’un ensemble est l’élément tel qu’en l’additionnant à tout autre élément de l’ensemble, on obtient le même élément (u + O = u). Par exemple, dans R², l’élément nul est O=(0,0). Dans l’ensemble M_1×2, l’élément nul est O=[0 0]. Réfléchissez un peu sur l’élément de nul de P₂(x) (O= 0 (la constante nulle)).
   Si on arrive à montrer que O_v ∈ W , on passe à l’étape suivante. Sinon, on conclut que W n’est pas un sous-espace vectoriel de V.
   
   Dans notre exemple, l’élément nul de V=R³ est O_v=(0,0,0). Il faut donc d’abord vérifier si O_v ∈ W. Ici, le vecteur O_v=(0,0,0) appartient bien à W car, la deuxième composante du vecteur O_v est nulle. D’où l’importance de l’étape 1.

3. Montrer que l’ensemble W est stable par addition c’est-à-dire que (u ⊕ v) ∈ W

   Pour montrer la fermeture de ⊕ (Stabilité de l’addition), il suffit premièrement de prendre deux vecteurs distincts u et v appartenant à l’ensemble W et possédant les caractéristiques de cet ensemble. Deuxièmement, il faut additionner les deux vecteurs et montrer que le résultat de cette addition est un élément (ici un vecteur) de l’ensemble W qui possède ses caractéristiques.
   Si on y arrive, on passe à l’étape suivante. Sinon, on conclut que W n’est pas un sous-espace vectoriel de V et on le prouve par un contre-exemple.
   
   Dans notre exemple, on pose u=(x₁, 0, y₁) et v=(x₂,0,y₂). u et v appartiennent bien à W puisque leurs deuxièmes composantes sont nulles. On va donc essayer de prouver que la somme u+v est un vecteur qui appartient aussi à W c’est-à-dire que la deuxième composante du vecteur u+v est nulle.

4. Montrer que l’ensemble W est stable par multiplication c’est-à-dire que (r * u) ∈ W

   Pour montrer la fermeture de * (Stabilité de la multiplication), il suffit de prendre un vecteur u de W et un scalaire r. Ensuite, il faudrait montrer que le vecteur r*u est un élément de l’ensemble W qui possède ses caractéristiques.
   Si on y arrive, on passe à l’étape suivante. Sinon, on conclut que W n’est pas un sous-espace vectoriel de V et on le prouve par un contre-exemple.
   
   Dans notre exemple, on pose u=(x₁, 0, y₁) et r ∈ R. u appartient bien à W puisque sa deuxième composante est nulle. On va donc essayer de prouver que le produit r*u est un vecteur qui appartient aussi à W c’est-à-dire que la deuxième composante du vecteur r*u est nulle.

5. Conclure si W est un sous-espace vectoriel de V

   Si les étapes 2 à 4 ont été toutes vérifiées, alors l’ensemble W est un sous-espace vectoriel de V.
   En d’autres termes, si:
   – Ov ∈ W
   – (u ⊕ v) ∈ W
   – (r * u) ∈ W
   Alors, on conclut que W est un sous-espace vectoriel de l’ensemble V.
   
   Si l’une des étapes ci-dessus n’est pas vérifiée, on conclut que W n’est pas un sous-espace vectoriel de V. Dans ce cas, il faut montrer en prenant un exemple qui est faux (contre-exemple).
   
   Dans notre exemple, puisque chacune des étapes ci-dessus était vraie, alors on peut donc dire que W est un sous-espace vectoriel de V.