COMMENT MULTIPLIER DES MATRICES?

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Une matrice est un tableau rectangulaire ou carré dans lequel des éléments sont disposés en ligne et en colonne.
La multiplication matricielle est l’une des opérations qui peuvent être effectuées sur les matrices en algèbre linéaire. Essentiellement, le produit matriciel est possible lorsque les deux matrices A et B sont compatibles.
Puis, pour multiplier des matrices, nous devons multiplier les éléments (ou les nombres) de la ligne de la première matrice (celle à gauche) par les éléments de la colonne de la seconde matrice (celle à droite) puis additionner leurs produits. La multiplication des matrices est une opération qui combine l’addition, la soustraction et la multiplication.

1. Prendre en note les dimensions des matrices

   La dimension ou la taille d’une matrice est le nombre de lignes et de colonnes de la matrice. Avant de multiplier les matrices, il est question de souligner ici, l’importance d’avoir l’information de leur dimension.

2. Vérifier que la multiplication des matrices est possible

   La multiplication de matrice n’est pas toujours possible. À partir de là, il faut vérifier que le produit est possible en vérifiant la compatibilité des matrices. En fait, deux matrices sont compatibles si le nombre de colonnes de la première matrice (celle à gauche) est égal au nombre de ligne de la deuxième matrice (celle à droite).
   Dans notre exemple, la multiplication de A par B est possible, car la matrice A a 3 colonnes et la matrice B a 3 lignes.

3. Préparer les cases vides de la matrice du résultat

   Si le produit de matrice est possible, alors on peut déduire la dimension de la matrice du résultat (le nombre de lignes et de colonnes). Ainsi, créer une nouvelle matrice vide correspondant au résultat qui représente le produit de la matrice A par la matrice B. La matrice à créer doit avoir le nombre de lignes de la matrice A et le nombre de colonnes de la matrice B. On peut donc dessiner les cases vides correspondant aux coefficients à déterminer.
   Dans notre exemple :
   – La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes. Donc, la matrice du résultat du produit de matrice aura 2 lignes.
   – La matrice B a 3 lignes et 2 colonnes. Donc, la matrice du résultat du produit de matrice aura 2 colonnes.
   – Finalement, la matrice vide du résultat du produit de A par B à dessiner aura 2 lignes et 2 colonnes.

4. Calculer le premier coefficient de la matrice du résultat

   Chaque coefficient de la matrice du résultat est obtenu en calculant le produit scalaire d’une ligne de A et d’une colonne de B. Pour calculer le produit scalaire, il faut d’abord sélectionner une ligne de la première matrice et une colonne de la seconde matrice. Ensuite, il faut multiplier chaque élément de la ligne par son élément correspondant de la colonne. Enfin, il faut additionner chacun des produits produits obtenus. Étant donné que le résultat du produit scalaire est un chiffre. Il s’ensuit que ce chiffre est le coefficient à écrire dans la matrice du résultat du produit de A par B.
   Par exemple, supposons que nous voulons déterminer le coefficient a₁₁ de la matrice AxB (le coefficient en haut à gauche). Alors, on doit suivre les étapes suivantes:
   1 On sélectionne la première ligne de la matrice A et la première colonne de la matrice B
   2 On fait le produit élément par élément correspondant :
   – 1 * 4 = 4
   – (-2) * 2 = -4
   – 1 * (-1) = -1
   3 On additionne les résultats des produits: 4 + (-4) + (-1) = -1
   On trouve alors: a₁₁= -1.

5. Calculer le second coefficient de la matrice du résultat

   En supposant que nous souhaitons trouver le coefficient a₂₁ (en bas à gauche) du produit de A par B. Commençons par examiner le produit scalaire de la deuxième ligne de la matrice A et de la première colonne de la matrice B. Les étapes sont les suivantes:
   1 On sélectionne la deuxième ligne de la matrice A et la première colonne de la matrice B
   2 On fait le produit élément par élément correspondant :
   – 3 * 4 = 12
   – 0 * 2 = 0
   – 2 * (-1) = –2
   3 On additionne les résultats des produits: 12 + 0 + (-2) = 10
   On trouve alors a₂₁= 10.

6. Calculer les coefficients restants de la matrice du résultat

   Pour trouver le coefficient a₁₂ en haut à droite, on effectue le produit scalaire de la première ligne de la matrice A par la deuxième colonne de la matrice B. Les étapes sont les suivantes:
   1 On sélectionne la première ligne de la matrice A et la deuxième colonne de la matrice B
   2 On fait le produit élément par élément correspondant :
   – 1 * 5 = 5
   – (-2) * 3 = –6
   – 1 * 1 = 1
   3 On additionne les résultats des produits: 5 + (-6) + 1 = 0
   On trouve alors : a₁₂= 0.
   
   Pour trouver le coefficient a₂₂ en bas à droite, on effectue le produit scalaire de la deuxième ligne de la matrice A par la deuxième colonne de la matrice B.
   1 On sélectionne la deuxième ligne de la matrice A et la deuxième colonne de la matrice B
   2 On fait le produit élément par élément correspondant :
   – 3 * 5= 15
   – 0 * 3 = 0
   – 2 * 1 = 2
   3 On additionne les résultats des produits: 15 + 0 + 2 = 17
   On trouve donc le coefficient de la deuxième ligne et deuxième colonne: a₂₂= 17 (coefficient en bas à droite)
   

7. Vérifier votre résultat

   Après un produit de matrice, on peut se vérifier rapidement en vérifiant que chaque coefficient a été obtenu en effectuant le bon calcul. N’oubliez pas que chaque coefficient à déterminer donne la recette pour le calculer. Ainsi, si on veut trouver :
   – Le coefficient a₁₁, on devra effectuer le produit scalaire entre la première ligne de la matrice A et la première colonne de la matrice B
   – Le coefficient a₂₁, on devra effectuer le produit scalaire entre la deuxième ligne de la matrice A et la première colonne de la matrice B
   – Le coefficient a₁₂, on devra effectuer le produit scalaire entre la première ligne de la matrice A et la deuxième colonne de la matrice B
   – Le coefficient a₂₂, on devra effectuer le produit scalaire entre la deuxième ligne de la matrice A et la deuxième colonne de la matrice B
   En somme, une fois qu’on vérifie que les coefficients sont positionnés à leurs positions, il ne reste plus qu’à espérer que les calculs soient bons.