L’objectif est d’apprendre à soustraire deux matrices ou plus et de présenter les propriétés relatives à la soustraction de matrice avec des exercices résolus.
Sommaire
La soustraction de matrice fait référence à la soustraction d’éléments à éléments de deux ou plusieurs matrices. Une matrice est un format mathématique(tableau) servant à organiser les données sous forme de lignes et de colonnes. Différentes opérations peuvent être réalisées sur des matrices telles que l’addition, la soustraction et la multiplication. Dans ce cours, nous nous intéresserons principalement au fonctionnement de la soustraction matricielle. La soustraction des matrices est un processus de soustraction des éléments correspondants des matrices.
La soustraction se fait de la même manière que l’addition matricielle. Les contraintes d’addition matricielle s’appliquent également à la soustraction matricielle. Comme pour l’addition, la soustraction n’est définie que pour les matrices de même taille. Explorons le concept en détail à l’aide d’exemples.
Soustraction de deux matrices
Soustraire deux matrices revient à soustraire les coefficients (les éléments) de chaque matrice qui se trouvent sur la même ligne et la même colonne pour former une nouvelle matrice.
Il est donc nécessaire que les deux matrices aient la même dimension ou la même taille(format). Autrement dit, les matrices à soustraire doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes. On peut donc soustraire aussi bien des matrices carrées et des matrices rectangulaires.
La soustraction de deux matrices est un processus de soustraction des éléments correspondants des deux matrices. Quand nous soustrayons deux matrices, nous soustrayons les éléments de chaque ligne et chaque colonne de la première matrice aux éléments de la ligne et de la colonne correspondant de l’autre matrice.
Exemple 1
Additionner les matrices suivantes :
Note 1
On ne peut pas additionner deux matrices qui n’ont pas la même taille.
Exemple 2
Dans chacun des cas suivants, dire si la soustraction est possible
Il faut toujours réfléchir à la dimension des matrices avant d’effectuer une opération.
Soustraction de trois matrices ou plus
Soustraire trois matrices ou plus revient à soustraire les coefficients (les éléments) de chaque matrice qui se trouvent sur la même ligne et la même colonne pour former une nouvelle matrice.
Il s’agit de la même technique que dans la section précédente. Il faut donc que toutes les matrices à soustraire aient la même taille ou la même dimension.
Exemple 3
Considérons l’exemple suivant :
L’opération de soustraction est aussi simple que celui de l’addition. Dans le premier cas, on voit bien que toutes les matrices ont la même dimension (2 x 2). On peut donc les soustraire simultanément. Il en est de même dans le deuxième cas où les matrices sont de taille (3 x 1)
Note 2
Pour soustraire simultanément trois ou plusieurs matrices, toutes les matrices doivent avoir la même dimension.
Propriété de la soustraction de matrices
Toutes les contraintes pour l’addition de matrices sont également appliquées à la soustraction de matrices. Mais, il existe certaines lois que la soustraction matricielle ne suit pas, tout comme la soustraction de nombres. L’élément le plus important à vérifier avant d’utiliser les propriétés de la soustraction matricielle est que la soustraction de matrices n’est définie que si la dimension des matrices est la même.
Non-commutativité de soustraction de matrice
La soustraction matricielle est non commutative c’est-à-dire A – B ≠ B – A. Autrement dit, la différence de A et B est différente de la différence de B et A. Il est donc très important de porter une attention particulière à la disposition des matrices dans notre opération de soustraction.
Exemple 4
Considérons les matrices A et B suivantes :
À travers cet exemple, on voit bien que la soustraction est non commutative contrairement à l’addition matricielle.
Non-associativité de la soustraction de matrice
La soustraction matricielle est non associative c’est-à-dire (A – B) – C ≠ A – (B – C). En d’autres termes, si nous souhaitons effectuer une opération en ligne de soustraction, nous ne pouvons pas commencer à effectuer les opérations dans l’ordre de notre choix.
Exemple 5
Considérons l’exemple suivant :
À travers cet exemple, on voit bien que la soustraction matricielle est non associative contrairement à l’addition matricielle.
Matrice nulle liée à la soustraction de matrice
La soustraction d’une matrice à elle-même donne la matrice nulle c’est-à-dire A-A=O. La matrice nulle obtenue est de même dimension que la matrice A.
Considérons la matrice A suivante :
La matrice nulle obtenue doit être de la même dimension que la matrice A. C’est pourquoi la matrice nulle est de dimension (2 x 2).
Soustraction comme une addition
La soustraction matricielle peut être calculée en additionnant la première matrice et l’opposé de la deuxième matrice, c’est-à-dire A – B = A + (-B).
Considérons l’exemple suivant :
Nous voyons bien que la soustraction matricielle peut se calculer comme une addition matricielle. Observez bien la différence dans les étapes de calcul(code de couleur jaune).
Transposée de la différence de deux matrices
La transposée de la différence de deux matrices est égale à la différence des transposées des matrices respectives, c’est-à-dire ( A- B) T = AT – BT.
En d’autres termes, la transposée de la différence c’est la différence des transposées.
Considérons l’exemple suivant :
Note 3
La transposée d’une matrice est la transformation des lignes de la matrice en colonne de la nouvelle matrice.
Conseils et astuces sur la soustraction de matrice
- La soustraction matricielle est définie uniquement si les matrices ont la même dimension ou le même ordre (même taille)
- La soustraction matricielle est le processus de soustraire les éléments correspondants de chaque matrice
- La soustraction matricielle n’est pas commutative ni associative
- La soustraction matricielle est très similaire à l’addition matricielle
- Toujours effectuer les opérations de soustraction de la droite vers la gauche
- La propriété de transposition de la soustraction est la même que celui de l’addition
Exercices sur la soustraction de matrice
Ceci est une série d’exercices résumant l’ensemble des enseignements étudiés dans ce cours. Vous trouverez la solution pour chacun de ces problèmes dans la section du solutionnaire.
Vous pouvez aussi utiliser cet outil pour effectuer vos calculs matriciels.
Exercice 1
Considérons l’exercice suivant :
Exercice 2
Soit l’exercice suivant :
Exercice 3
Considérons l’exercice suivant :
Solutions sur la soustraction de matrice
Vous trouverez ci-dessous la solution des exercices présentés à la section précédente :
Solution exercice 1
La solution de l’exercice 1 est présentée ci-dessous :
Consultez les astuces et les conseils au besoin
Consulter la section sur la soustraction de deux matrices ou de trois matrices au besoin
Solution exercice 2
La solution de l’exercice 2 est présentée ci-dessous :
Consultez la section sur les propriétés de la soustraction de matrice au besoin
Solution exercice 3
La solution de l’exercice 3 est présentée ci-dessous :
Consultez les astuces et les conseils au besoin
Consultez les astuces et les conseils au besoin
En résumé
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COMMENT FAIRE LA SOUSTRACTION DE MATRICE?
- Vérifier que les matrices à soustraire sont de la même dimension
Les matrices sont de la même dimension ou même taille si elles ont le même nombre de lignes et de colonnes.
- Vérifier quelle est l’opération de soustraction à effectuer.
La soustraction de matrice n’est pas commutative. Ainsi, l’ordre dans lequel on dispose les matrices compte et a une influence sur le résultat. En effet, A – B ≠ B – A.
- Effectuer la soustraction de matrice
Réaliser l’opération de soustraction de deux matrices en soustrayant les éléments de deux matrices à la même position. Le numéro de la ligne i et le numéro de la colonne j des éléments à soustraire doit être le même pour les deux matrices.
FAQ sur la soustraction de matrice
La soustraction de matrice est la soustraction d’éléments à éléments correspondants de deux ou plusieurs matrices de la même dimension. Les matrices ne peuvent pas être soustraites si elles n’ont pas la même taille ou le même ordre ou la même dimension.
Vérifier d’abord si les deux matrices ont la même dimension. Ensuite, faites une soustraction d’éléments ou de coefficients placés aux mêmes positions dans les deux matrices. Enfin, écrire le résultat de la soustraction des coefficients dans la matrice du résultat. La soustraction de deux matrices ou plus est une matrice de même dimension que les autres.
La méthode de la soustraction de matrice s’applique à toutes les matrices peu importe leurs tailles. Il suffit toujours de soustraire les éléments à la même position et les noter. Ainsi, si vous savez faire la soustraction de matrice 2×2, vous devriez être en mesure d’effectuer une soustraction de matrice 3×3, 3×2, …
Non, il n’est pas possible de soustraire deux matrices qui ne sont pas de la même dimension. Vérifier au préalable que les matrices ont la même forme.
Non, la soustraction de matrice n’est pas commutative. L’ordre dans lequel on dispose les matrices est important.
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