L’objectif est d’introduire le concept des matrices à travers le langage matriciel par la définition de quelques matrices particulières et d’exercices résolus.
Sommaire
Définition des matrices particulières
Matrices
Une matrice A de taille ( nxm ) est un tableau rectangulaire ou carré servant à disposer des éléments.
En d’autres termes, une matrice n’est qu’une boîte dans laquelle des éléments (des nombres en mathématiques) sont disposés en lignes et en colonnes. La taille ou la dimension d’une matrice est caractérisée par le nombre de lignes n et le nombre de colonnes m de la matrice. Notons que A nxm .
Soit la matrice A suivante :
La matrice A a 3 lignes et 4 colonnes. Donc, la taille de la matrice A est ( 3 x 4 ).
Les éléments d’une matrice A sont appelés coefficients et se notent a ij où i représente le numéro de la ligne et j le numéro de la colonne du coefficient correspondant.
Soit la matrice A de l’exemple 1 :
- Le chiffre 2 est l’élément (coefficient) de la 1 ère ligne et 2 ème colonne. On note : a12 =2 ;
- Le chiffre 15 est l’élément (coefficient) de la 2 ème ligne et 2 ème colonne. On note : a22 =15 ;
- Le chiffre 7 est l’élément (coefficient) de la 3 ème ligne et 4 ème colonne. On note : a34 =7 ;
Une matrice A de taille ( nxm ) a n multipliée par m coefficients (éléments).
Soit la matrice A de l’exemple 1 :
La matrice A est de taille (3 x 4). Elle a donc 3 lignes * 4 colonnes = 12 coefficients (nombre de traits jaunes).
Maintenant que nous savons identifier, compter et nommer les éléments d’une matrice, nous allons voir dans les prochains cours comment additionner, soustraire et multiplier les matrices entre elles. Oui, vous l’avez remarqué! La division des matrices n’a pas été mentionnée, car dans le langage matriciel, cela s’appelle inverser la matrice (nous le verrons plus tard).
Pour l’instant, nous allons continuer la présentation des matrices particulières comme la matrice ligne.
Matrices ligne
Une matrice ligne est une matrice de taille 1 par m c’est-à-dire une matrice ne comportant qu’une seule ligne, mais plusieurs colonnes; c’est-à-dire qu’une matrice ligne est de la forme (1 x m ).
Soit la matrice A suivante :
La matrice A à 1 ligne et 4 colonnes. Donc, la matrice A 1×4 est une matrice ligne .
Matrices colonne
Une matrice colonne est une matrice de taille n par 1 c’est-à-dire une matrice comportant plusieurs lignes, mais qu’une seule colonne; c’est-à-dire qu’une matrice colonne est de la forme (n x 1).
Soit la matrice A suivante :
La matrice a 3 lignes et 1 colonne. Donc, la matrice A est une matrice colonne .
Matrice nulle
Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls. La matrice nulle est donc une matrice où tous les chiffres sont nuls (égaux à zéro).
Voici des exemples de matrices nulles.
Matrice carrée
Une matrice carrée est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes. La taille de la matrice est donc (nxn) ou (mxm).
Soit la matrice A suivante :
La matrice A a 2 lignes et 2 colonnes. Donc, c’est une matrice carrée de taille ( 2 x 2 ).
Matrice rectangulaire
Une matrice rectangulaire est une matrice qui a un nombre de lignes et de colonnes différentes. La taille de la matrice est donc ( nxm ). C’est donc le cas général.
Soit les matrices A et B suivantes :
La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes. Donc, c’est une matrice rectangulaire de taille ( 2 x 3 ).
La matrice B a 3 lignes et 4 colonnes. Donc, c’est une matrice rectangulaire de taille ( 3 x 4 ).
Matrice diagonale
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf ceux sur la diagonale de la matrice (tableau). C’est ce qu’on appelle la diagonale principale . En revanche, une matrice rectangulaire n’a pas de diagonale principale.
Soit les matrices A,B et C suivantes :
Les matrices A, B et C sont des matrices diagonales de taille respectives ( 2 x 2 ), ( 3 x 3 ) et ( 5 x 5 ).
Les éléments de la diagonale principale sont les coefficients de la matrice situés sur le même numéro de la ligne et de la colonne. Ce sont les coefficients aii .
Soit les matrices A,B et C :
L’ensemble des éléments de la diagonale d’une matrice A est noté : diag (A) = {a 11 . une 22 , une 33 , …, une nn }
La diagonale telle que décrite ici est appelée diagonale principale. Une matrice a également une antidiagonale.
Soit les matrices A,B et C :
Matrice triangulaire
Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les éléments au-dessus ou en dessous de la diagonale principale sont nuls(égaux à zéro).
Si tous les zéros sont sous la diagonale alors, on parle de matrice triangulaire supérieure (tous les chiffres non nuls en haut de la diagonale).
Si tous les zéros sont au-dessus la diagonale alors, on parle de matrice triangulaire inférieure (tous les chiffres non nuls en bas de la diagonale).
Exemple 12
Soit les matrices B et C suivantes :
Une matrice diagonale peut être considérée comme une matrice triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure puisqu’elle a des zéros au-dessus et en dessous de la diagonale.
Soit la matrice B suivante :
Matrice identité
Une matrice identité est une matrice carrée ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs. Ainsi on la note In : matrice identité de taille (n x n) .
Soit les matrices identités suivantes :
Il n’existe pas de matrice identité de forme rectangulaire.
Matrice symétrique
Une matrice symétrique est une matrice carrée dont tous les éléments sont symétriques par rapport à la diagonale principale.
En d’autres termes, une matrice symétrique est une matrice dont tous les éléments en dessous de la diagonale sont égaux aux éléments au-dessus de la diagonale principale.
Soit les matrices symétriques A, B et C suivantes :
Les matrices A, B et C sont des matrices symétriques de taille respective (2 x 2), (3 x 3) et (5 x 5)
La matrice identité et la matrice nulle sont aussi des matrices symétriques.
Matrice antisymétrique
Une matrice antisymétrique est une matrice carrée qui est antisymétrique par rapport à la diagonale principale. Par ailleurs, la matrice antisymétrique a une diagonale principale nulle et les éléments identiques et opposés de part et d’autre de la diagonale principale.
Soit les matrices antisymétriques A,B et C suivantes :
Les matrices A, B et C sont des matrices antisymétriques de taille respective (2 x 2), (3 x 3) et (5 x 5)
Exercices sur les matrices
Mentionnons que ceci est une série d’exercices résumant l’ensemble des enseignements étudiés dans ce cours. Vous trouverez la solution pour chacun de ces problèmes dans la section du solutionnaire.
Vous pouvez aussi utiliser cet outil pour effectuer vos calculs.
Vous trouverez la solution ici.
Solutions des exercices sur les matrices
Voici le solutionnaire :
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