MÉTHODE DE SUBSTITUTION

L’objectif est d’apprendre à résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de substitution avec des exercices résolus.

Sommaire

Rappel et mise en contexte

Dans l’article précédent, nous avons vu la méthode de comparaison pour résoudre un système d’équations linéaires. Ici, nous allons étudier la méthode de substitution qui est la méthode la plus robuste et efficace, peu importe le système d’équations linéaires. Cette technique est l’essence même des mathématiques en particulier de l’algèbre. D’autres méthodes sont utilisées pour résoudre un système d’équations linéaires : la méthode d’élimination. La méthode de Gauss, la méthode de Gauss-Jordan et la méthode de la matrice inverse.

Pour rappel, un système d’équations linéaires un ensemble de plusieurs équations linéaires à résoudre simultanément. Un système d’équations n’a pas toujours de solution. On distingue trois types de solutions lorsqu’on résout un système d’équations linéaires :

• Une solution unique : Il existe un unique couple solution capable de vérifier simultanément toutes les équations du système.
• Une infinité de solutions: Il existe plusieurs couples solutions capables de satisfaire toutes les équations du système. L’infinité de solutions peut représenter une droite (1D), un plan(2D) ou un ensemble de 3 dimensions ou plus.
• Aucune solution : Il n’existe aucun couple de nombre capable de satisfaire simultanément toutes les équations du système d’équations

Un système d’équation qui admet au moins une solution est dit compatible(cohérent ou non contradictoire). S’il n’admet aucune solution, il est dit incompatible(incohérent ou contradictoire).

Principe de la méthode de substitution

Tout système d’équations linéaires à son ensemble de solution. On peut le calculer en utilisant la méthode de substitution.

C’est une technique robuste qui s’utilise peu importe le type de système d’équations rencontré. Cette méthode consiste à isoler une variable dans l’une des équations et la remplacer dans les autres équations.

Étapes de résolution d’un système d’équations linéaires par la méthode de substitution

Les étapes suivantes décrivent comment trouver l’ensemble de solutions d’un système d’équations linéaires en utilisant la méthode de substitution :

• Isoler une des variables dans une des équations : choisir une variable simple à isoler
• Remplacer cette variable dans les autres équations par l’expression obtenue à l’étape 1 : Cette étape permet d’obtenir un nouveau système d’équations avec moins de variables.
• Reprendre au besoin les étapes 1 et 2 en utilisant les nouvelles équations qui forment le système d’équations : cette étape est à faire si l’on a plus de deux équations. Si l’on a une équation, on passe à l’étape suivante.
• Résoudre l’équation obtenue à l’étape 3 en isolant la variable restante
• Calculer la valeur des autres variables en utilisant les expressions de chacune des variables qui a été nécessaire pour la résolution(étape 1, étape 2 et étape 3)
• Écrire l’ensemble de solution du système d’équations linéaires

Résolution d’un système d’équations linéaires par la méthode de substitution

Appliquons les étapes précédentes de résolution dans l’exemple ci-dessous:

Au regard des étapes précédentes, on voit que la variable z est la plus facile à isoler dans l’équation 1. En remplaçant son expression dans les deux autres équations, on obtient un nouveau système d’équations à deux équations. On reprend donc les étapes 1 et 2, pour obtenir finalement la valeur de la variable y. En se servant des expressions précédentes de x et z, on déduit leurs valeurs connaissant la valeur de y. Noter que si dès le départ, on isolait une autre variable autre que z, on obtiendrait le même résultat final. Par exemple, on aurait pu isoler la variable y dans l’équation 2 à l’étape 1 ou la variable x de l’équation 3.

Vérification de la solution d’un système d’équations linéaires

Il est toujours possible de vérifier si l’ensemble de solution finale du système d’équations est juste. Pour cela, il suffit de remplacer les valeurs de chaque variable obtenues dans chacune des équations du système d’équations.

• Si toutes les équations sont cohérentes (juste ou aucune d’absurdité), alors l’ensemble de solution trouvée est aussi juste ou correct.
• Si au moins une des équations du système est incohérentes (faux ou absurde) alors, l’ensemble de solution trouvée est aussi faux.

On voit bien que toutes les équations du système sont vraies. Donc, la réponse finale obtenue est juste.

Conseils et astuces concernant la méthode de substitution

• Un ensemble d’équations linéaires à résoudre constitue un système d’équations linéaires
• Trouver l’ensemble de solutions d’un système d’équations revient à résoudre le système
• La méthode de substitution permet de résoudre tous les types de système d’équations
• Les méthodes élémentaires de résolution de systèmes d’équations linéaires sont : la méthode de comparaison, la méthode de substitution et la méthode d’élimination
• Ne pas oublier de faire une vérification après la résolution d’une équation linéaire
• Un système d’équations linéaires qui a au moins une solution est dit compatible
• Un système d’équations linéaires qui n’a aucune solution est dit incompatible
• Demander l’assistance d’un tuteur au besoin.
• Utilisez symbolab pour vérifier rapidement vos résultats ou effectuer des calculs matriciels.
• Prochain article : Résolution d’un système d’équations linéaires : Méthode d’élimination

FAQ concernant la méthode de substitution

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