FORME AX=B : TRANSFORMER UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES

L’objectif est d’apprendre comment transformer un système d’équations linéaires sous la forme AX=B avec des exercices résolus.

Sommaire

Rappel et mise en contexte

Les systèmes d’équations sont sans doute des notions les plus important d’algèbre linéaire car plusieurs situations de la vie courante peuvent être traduite sous cette forme. Il convient donc de savoir les manipuler et les résoudre.

Dans les articles précédents, nous avons vus trois techniques élémentaires par résoudre les systèmes d’équations linéaires : la méthode par comparaison, la méthode par substitution et la méthode par élimination. Chacune de ces techniques a des avantages et des inconvénients.

Les techniques de résolution de systèmes d’équations linéaires demandent la transformation du système d’équation sous une forme particulière : la forme AX=B. Sous cette forme, de nombreuses théories ont été développé et simplifie la résolution de ces systèmes. Vous allez découvrir la puissance de techniques. Elles permettent même avant la résolution, de prédire le type de solutions du système.

Étapes de transformation d’un système sous la forme AX=B

Pour transformer un système d’équation sous la forme AX=B, il faut suivre les étapes suivantes :

• Mettre chaque équation du système dans le même ordre d’apparition des variables sous la forme : Ax +By + Cz + Dt = E où A,B,C et D représentent les coefficients respectifs des variables x, y, z et t. E est une constante.
• Compter le nombre d’équations( m ) et le nombre de variables ( n ) du système.
• Construire la matrice A_mxn avec m : le nombre de lignes de la matrice A correspondant au nombres d’équations du système. n : le nombre de colonnes de la matrice A correspondant aux nombres de variables du système d’équations

Chaque ligne de la matrice A contient tous les coefficients de variables de la première ligne et chaque colonne contient donc tous les coefficients d’une variable en particulier dans chaque équation.

• Construire la matrice colonne X contenant toutes les variables du système. Le nombre de lignes de la matrice X correspond aux nombres de variables du système. La dimension de la matrice X est nx1.
• Construire la matrice colonne B_mx1 avec m: nombres de lignes de la matrice B correspondant au nombres d’équations du système. La matrice B contient toutes les constantes E de chaque équation tel que décrit à l’étape 1.

Si une variable est absence d’une des équations, remplacer son coefficient correspondant par 0 dans la matrice A.

Mettre un système d’équations linéaires sous la forme AX=B

Dans les deux cas suivants, mettre chaque système d’équations linéaires sous la forme AX=B

Dans cet exemple, vous constaterez que lorsque une variable est absente d’une des équations, on la rajoute avec un coefficient nul à la même position. La matrice A est donc construite en sélectionnant juste les coefficients des variables dans l’ordre. X est la matrice colonne qui contient toutes les variables ou inconnues. La matrice B est la matrice colonne qui contient toutes les constantes des équations.

Système sous la forme AX=B : Matrice augmentée [A | B]

Pour résoudre un système d’équations, on a souvent besoin de le mettre d’abord sous la forme AX=B. Ensuite, on utilise la matrice augmentée [A | B] qui servira à résoudre plus facilement le système d’équations. La matrice augmentée devra être échelonner selon la méthode de Gauss. Échelonner une matrice revient à effectuer un ensemble d’opérations élémentaires sur les lignes.

Ces opérations élémentaires sont :

• permuter des lignes( L_i ↔ L_j ), c’est-à-dire ( L_i → L_j ) et ( L_j → L_i ).
• Multiplier une ligne par une constante k, où k ∈ ℝ et k= 0
• Additionner un multiple k, où k ∈ ℝ, d’une ligne à une autre ligne ( L_i + kL_j→ L_i )

Ne vous inquiétez pas, on verra dans le prochain article (la matrice échelonnée) comment effectuer ces opérations élémentaires.

Conseils et astuces pour transformer un système d’équations sous la forme AX=B

• Tous systèmes d’équations linéaires peut se mettre sous la forme AX=B.
• Le nombre de lignes de matrice A correspond au nombres d’équations du système et son nombre de colonne corresponds au nombre d’inconnues du système.
• La matrice X a toujours une seule colonne et son nombre de ligne corresponds au nombre d’inconnues du système d’équation
• La matrice B est toujours une matrice d’une seule colonne et son nombre de ligne corresponds au nombres d’équations du système.
• Si le déterminant de la matrice A est non nulle, alors le système d’équation a une unique solution.
• Si l’inverse de la matrice A existe, alors le système a une solution unique.
• Utiliser Symbolab pour effectuer vos calculs matriciels
• Demander l’assistance d’un tuteur au besoin

FAQ

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