PROPRIÉTÉS DU DÉTERMINANT D’UNE MATRICE

L’objectif est d’apprendre à utiliser les propriétés du déterminant d’une matrice afin de déduire la valeur du déterminant d’autres matrices.

Sommaire

Rappel et mise en contexte sur les propriétés du déterminant d’une matrice

Une matrice est un tableau carré ou rectangulaire avec plusieurs lignes et plusieurs colonnes dans lequel sont disposés des éléments. Une matrice qui a autant de lignes que de colonnes est une matrice carrée. Si le nombre de lignes est différent du nombre de colonnes, alors on parle de matrice rectangulaire.

La dimension d’une matrice est son nombre de lignes et de colonnes. Le déterminant d’une matrice n’est défini que pour les matrices carrées c’est-à-dire des matrices de dimension nxn. Le déterminant d’une matrice est un scalaire(un chiffre).

Dans les chapitres précédents, nous avons appris à calculer le déterminant d’une matrice 2×2, le déterminant d’une matrice 3×3, le déterminant d’une matrice 4×4 et le déterminant d’une matrice nxn (d’ordre n). Il n’est pas toujours nécessaire de revenir à la définition pour calculer le déterminant d’une matrice. On peut déduire sa valeur connaissant celle d’une autre matrice s’il existe un lien entre les coefficients de ces matrices.

Dans cet article, nous allons donc apprendre comment déduire le déterminant d’une matrice à partir d’une autre avec les propriétés du déterminant d’une matrice.

Propriétés du déterminant d’une matrice

Propriété 1

Elle s’énonce comme suit:

<< Si A est une matrice carrée dont tous les éléments d’une colonne ou d’une ligne sont des zéros, alors det(A) = 0 >>

On constate donc qu’il n’est pas nécessaire de calculer le déterminant de la matrice (car, det(A) = 0) si l’on observe que la matrice contient une ligne ou une colonne nulle. Essayez de calculer par vous-même le déterminant pour en avoir le cœur net.

Il est facile de démontrer cette propriété en calculant le déterminant de la matrice par la méthode d’expansion par cofacteur suivant la ligne ou la colonne nulle.

Propriété 2

Elle s’énonce comme suit:

<< Si A est une matrice carrée triangulaire supérieure (ou triangulaire inférieure), alors le déterminant de A est le produit des éléments de la diagonale principale: det(A) = a₁₁*a₂₂*a₃₃*….a_nn >>

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les chiffres non nuls sont au-dessus de la diagonale principale (c’est-à-dire que les zéros sont en dessous de la diagonale principale). C’est le contraire pour une matrice triangulaire inférieure dont les chiffres non nuls sont en dessous de la diagonale principale (c’est-à-dire que les zéros sont au-dessus de la diagonale principale).

Pour appliquer cette propriété, il est juste nécessaire d’identifier que la matrice est triangulaire. Elle s’applique aussi si la matrice est diagonale puisqu’une matrice diagonale est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.

Propriété 3

Elle s’énonce comme suit:

<< Le déterminant de la matrice identité I_n est égal à 1, c’est-à-dire det (I_n)=1 >>

La matrice identité I_n est une matrice qui possède uniquement des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.

Il est facile de prouver cette propriété en utilisant la propriété 2. Puisque la matrice identité I_n est une matrice diagonale, alors elle est aussi triangulaire supérieure et inférieure. Donc, det (I_n)= 1*1*1* …. *1 = 1.

Propriété 4

Elle s’énonce comme suit:

<< Le déterminant de la transposée d’une matrice carrée A est égal au déterminant de la matrice A, c’est-à-dire det (A^T) = A >>

La transposée d’une matrice ne change pas la valeur de son déterminant.

Cette propriété est encore plus utile lorsque la dimension de la matrice est grande puisqu’elle permet d’éviter le calcul.

Elle se démontre aisément en utilisant encore une fois le calcul du déterminant de la matrice A et A^T par la méthode d’expansion par cofacteur suivant la ligne ou la colonne correspondante.

Propriété 5

Elle s’énonce comme suit:

<< Si une matrice carrée B d’ordre n est obtenue d’une matrice carrée A d’ordre n en multipliant tous les éléments d’une colonne (ou ligne) de A par un scalaire k, où k ∈ IR, alors det (B) = k * det(A) >>

Le calcul du déterminant en utilisant les propriétés du déterminant d’une matrice demande de grandes compétences d’observation puisqu’il faut remarquer tout changement apporté sur la matrice.

Cette propriété se généralise lorsque les colonnes(ou lignes) de la matrice B d’ordre n sont des multiples des colonnes (ou ligne) de la matrice A d’ordre n. Dans ce cas, si les scalaires k₁, k₂, k₃, …., k_n sont les facteurs multiplicatifs, on a la relation :

det (B) = k₁*k₂*k₃*….*k_n*det(A)

Propriété 6

Elle s’énonce comme suit:

<< Si A est une matrice carrée d’ordre n et si k ∈ IR, alors det (kA) = kⁿ * det(A) >>

Cette propriété est semblable à la propriété 5 à la différence que toutes les lignes ou colonnes de la matrice sont multipliées par le même chiffre (scalaire) k c’est-à-dire k₁ = k₂ = k₃ = …. = k_n. D’où le coefficient kⁿ où n représente le nombre de lignes ou de colonnes de la matrice.

Propriété 7

Elle s’énonce comme suit:

<< Si une matrice carrée B d’ordre n est obtenue d’une matrice carrée A d’ordre n en permutant deux colonnes (lignes) quelconques, alors det (B) = -det(A) >>

En d’autres termes, à chaque fois qu’on observe une permutation de lignes ou de colonne dans la matrice B par rapport à la matrice A, le déterminant est multiplié par un signe » – «. Pour ainsi dire, deux permutations de ligne ou de colonne ou même une combinaison de permutation impliquent de multiplier deux fois par -1 le résultat final du déterminant c’est-à-dire (-1)*(-1) = 1.

La généralisation de cette propriété s’écrit de la façon suivante:

det (B) = (-1)ⁿ * det (A)

où, n est le nombre de permutations de ligne ou de colonne de la matrice A pour obtenir la matrice B.

Par exemple, dans le premier exemple, il a fallu deux permutations pour passer de la matrice A à la matrice B. Donc, det (B) = (-1)² *det (A) = 1 * 2 = 2.

Propriété 8

Elle s’énonce comme suit:

<< Si une matrice carrée A d’ordre n possède une colonne (ou ligne) dont les éléments sont un multiple des éléments d’une autre colonne (ligne), alors det (A) = 0 >>

Cette propriété apparaîtra logique lorsqu’on verra la notion d’indépendance linéaire.

Ici, l’on recherche si les lignes ou les colonnes de la matrice sont multiples l’une de l’autre. Si on trouve une relation alors le déterminant est nul.

Propriété 9

Elle s’énonce comme suit:

<< Si une matrice carrée B d’ordre n est obtenue d’une matrice carrée A d’ordre n en additionnant respectivement aux éléments d’une colonne (ligne) de A un multiple des éléments d’une autre colonne (ligne) de A, alors det (B) = det (A) >>

En d’autres termes, ce propriété signifie que si la matrice B est formée par une combinaison linéaire des lignes ou des colonnes de la matrice A, alors le déterminant ne change pas: det (B) = det (A).

Ces exemples permettent de mieux comprendre pourquoi il est nécessaire de connaître les propriétés du déterminant d’une matrice puisque on pas toujours le calculer. Dans certains problèmes, l’expression de la matrice A n’est même pas donnée et pourtant l’on cherche le déterminant de B.

Ici, C représente une colonne de la matrice et L une ligne de la matrice.

Propriété 10

Elle s’énonce comme suit:

<< Si A et B sont deux matrices carrées d’ordre n, alors det (AB) = det(A)*det (B) >>

Cette propriété se généralise par la relation suivante:

det (ABCD…) = det (A) * det (B) * det (C) * det (D) * ….

Dans le premier exemple, on voit qu’il est possible de calculer le déterminant d’une matrice AB sans calculer directement l’expression de la matrice. Cette propriété est d’autant plus utile lorsqu’il faut calculer le déterminant du produit de matrices beaucoup plus grand.

Propriété 11

Elle s’énonce comme suit:

<< Si A est une matrice carrée d’ordre n, alors det (Aⁿ) = ( det (A) )ⁿ >>

Le cas particulier de cette propriété est le calcul du déterminant de l’inverse de la matrice A en utilisant les propriétés du déterminant d’une matrice. On a alors la relation suivante:

det (A^-1) = ( det (A) )^-1 = 1/ det (A)

Cette propriété permet de calculer de déterminant de l’inverse d’une matrice sans avoir à calculer l’inverse de la matrice proprement dite. Le deuxième exemple est récapitulatif et représente ce que vous devez être en mesure de faire en cumulant les propriétés. Ici, la propriété 10, propriété 11 et la propriété 4.

Conseils et astuces sur les propriétés du déterminant d’une matrice

• Les propriétés du déterminant d’une matrice permettent de calculer le déterminant sans avoir l’expression de la matrice
• Le déterminant de la somme de deux matrices (soustraction de deux matrices) est différent de la somme (différence) des déterminants de chacune des matrices: det (A±B)≠det(A)±det (B)
• Une matrice est inversible si son déterminant est différent de zéro: det(A) ≠ 0
• Le déterminant d’une matrice possédant une ligne ou une colonne de 0 est nul: det (A)=0 (propriété 1)
• Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments sur la diagonale: det(A)=a₁a₂…a_n (propriété 2)
• Le déterminant de la matrice identité I_n est 1: det(I_n)=1 (propriété 3)
• La transposée ne change pas la valeur du déterminant de la matrice (propriété 4)
• Det (B)= k₁k₂…k_ndet(A) si la matrice B contient des lignes (colonnes) multiples des lignes(colonnes) de la matrice A. Avec, k₁, k₂, …,k_n ces facteurs multiplicatifs. (propriété 5)
• Si k ∈ IR, alors det (kA) = kⁿ * det(A). Où n est l’ordre de la matrice A. (propriété 6)
• Une permutation de ligne ou de colonne implique de multiplier la matrice par -1. (propriété 7)
• Le déterminant d’une matrice qui possède des lignes (ou colonnes) identiques ou multiples est nul. (propriété 8)
• Une matrice formée par la combinaison linéaire des lignes (ou colonnes) d’une matrice initiale conserve le déterminant de la matrice d’origine. (propriété 9)
• Le déterminant d’un produit de matrice est le produit des déterminants de chacune des matrices : det(ABC)=det(A)det(B)det(C) (propriété 10)
• Le déterminant d’une matrice exposant n est également à la valeur du déterminant de la matrice exposant n: det(Aⁿ)=( det(A) )ⁿ. (propriété 11)
• Vous pouvez consulter la vidéo explicative ou demander l’assistance d’un tuteur pour un suivi particulier.

Vidéo explicative sur les propriétés du déterminant d’une matrice

Vous pouvez consulter cette vidéo afin de mieux comprendre comment utiliser les propriétés du déterminant d’une matrice

Si vous avez toujours des questions, consultez la foire aux questions ci-dessous.

FAQ sur les propriétés du déterminant d’une matrice

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