Aire d’un triangle isocèle

L’objectif est d’apprendre à calculer l’aire d’un triangle isocèle de plusieurs façons différentes avec des exercices résolus.

Sommaire

Rappel et mise en contexte

Dans un article précédent, nous avons présenté les différents types de triangles et leurs propriétés. Le triangle isocèle était l’un des principaux triangles qu’il était important de connaitre du bout des doigts.

Pour rappel, le triangle isocèle est une figure géométrique à trois côtés. Il existe plusieurs types de triangles dont les plus importants sont : le triangle rectangle, le triangle équilatéral et le triangle scalène ou triangle quelconque. Le triangle isocèle se distingue des autres triangles par les propriétés suivantes :

• Deux côtés isométriques
• Deux angles isométriques
• La somme des angles du triangle isocèle est égale à 180 degrés
• La hauteur issue du sommet principal du triangle isocèle coupe le côté opposé en deux parties égales
• La hauteur issue du sommet principal du triangle isocèle divise l’angle au sommet en deux parties égales
• Les deux côtés isométriques sont toujours opposés aux deux angles isométriques

Dans cet article, nous allons maintenant apprendre comment on peut tirer profit de ses propriétés pour calculer l’aire du triangle isocèle de plusieurs façons différentes.

Aire d’un triangle isocèle: Formule de base

L’aire d’un triangle isocèle est la moitié du produit de la base du triangle par sa hauteur. La formule est la suivante :

Aire = 1/2 * base * hauteur

On rappelle que dans un triangle, la base et la hauteur sont toujours perpendiculaires. De plus, à partir de chaque sommet d’un triangle, on peut toujours tracer une hauteur. De ce fait, trois hauteurs peuvent être tracées pour chaque triangle et par conséquent, on a donc trois bases aussi. L’idée est donc d’utiliser la hauteur et la base qui permet d’obtenir le plus rapidement possible le résultat.

Pour un triangle isocèle en particulier, il est souvent toujours pertinent de tracer la hauteur issue du sommet principal afin d’exploiter les propriétés du triangle. Dans ce cas, cette hauteur permettra de diviser la base en deux parties égales.

Aire du triangle isocèle utilisant la formule de base

Comment calculer l’aire d’un triangle isocèle dans l’exercice ci-dessous :

Cet exercice est simple puisque dans les données du problème, on a déjà la mesure de la base du triangle et sa hauteur. Le calcul de la surface du triangle dans ce cas est trivial.

Aire d’un triangle isocèle rectangle (ou triangle rectangle isocèle)

Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle dans l’exercice ci-dessous :

Dans cet exemple, il y’a deux façons de résoudre le problème. On voit bien qu’en utilisant la propriété du triangle isocèle en A (un triangle isocèle a deux côtés isométriques), on déduit immédiatement la mesure de la hauteur du triangle.

Si les propriétés du triangle isocèle avaient été oubliées, on voit qu’on aurait toujours pu résoudre le problème en utilisant la relation de Pythagore dans un triangle rectangle. Dans les deux cas, on obtient toujours le même résultat.

Aire du triangle isocèle utilisant la relation de Pythagore

Comment calculer l’aire d’un triangle isocèle dans l’exercice ci-dessous :

Dans cet exercice, on voit que la mesure de la hauteur du triangle est manquante ce qui est le cas dans la plupart des exercices. Pour résoudre ce type de problème, il faut suivre la démarche suivante lorsqu’on connait les mesures de deux côtés du triangle isocèle:

• Identifier de quels types de triangles il s’agit : ici, c’est un triangle isocèle
• Tracer la hauteur du triangle afin de faire apparaître un triangle rectangle
• Tirer profit des propriétés du triangle et de la relation de Pythagore pour calculer la hauteur
• Calculer l’aire du triangle

Si vous avez oublié comment appliquer le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle, consultez les articles précédents. Nous verrons dans la suite d’autres formules pour calculer l’aire du triangle isocèle lorsqu’on a toutes les mesures du triangle avec la formule de Héron.

Aire du triangle isocèle utilisant les rapports trigonométriques

Comment calculer l’aire d’un triangle isocèle dans l’exercice ci-dessous :

Dans cet exemple, une fois de plus, la mesure de la hauteur du triangle est inconnue. On remarque cette fois-ci que nous avons la mesure d’un côté du triangle et un angle. Dans ce cas, la démarche à suivre pour résoudre le problème est :

• Identifier de quels types de triangles il s’agit : ici, c’est un triangle isocèle
• Tracer la hauteur du triangle afin de faire apparaître un triangle rectangle
• Tirer profit des propriétés du triangle et des formules des rapports trigonométriques pour calculer la hauteur
• Calculer l’aire du triangle

Si vous ne vous souvenez plus comment utiliser les rapports trigonométriques, consultez les articles précédents.

Aire d’un triangle isocèle : Formule trigonométrique

La formule trigonométrique de la surface d’un triangle isocèle s’utilise lorsqu’on connait les mesures de deux côtés du triangle et celle de l’angle compris entre ces deux côtés. Dans ce cas, on déduit les formules suivantes :

Cette formule s’applique, peu importe le type de triangle. À chaque fois, il faut juste se rassurer que l’angle utilisé pour le calcul d’aire est toujours compris entre les deux côtés sélectionnés.

Aire du triangle isocèle utilisant la formule trigonométrique

Comment calculer l’aire du triangle suivant :

Ici, l’application de la formule est simple puisqu’on a la mesure de deux côtés du triangle et l’angle compris entre ces deux côtés. On utilise directement la formule dans ce cas.

Dans plusieurs cas, il est souvent nécessaire d’utiliser d’abord la loi des sinus , la loi des cosinus ou les propriétés du type de triangle en jeu pour calculer un angle ou un côté manquant avec d’utiliser la formule trigonométrique pour le calcul d’aire.

Aire du triangle isocèle utilisant les propriétés du triangle isocèle

Regardons maintenant ensemble un exemple plus complexe qui nécessite d’utiliser les propriétés du triangle isocèle.

Ce problème ne peut pas être résolu si l’on ne connait pas les propriétés du triangle isocèle. En effet, en sachant que le triangle isocèle a deux côtés isométriques et deux angles isométriques, on déduit les informations supplémentaires nécessaires à la résolution. Finalement, puisque dans un triangle la somme des angles est de 180 degrés, on déduit la valeur de l’angle C et on calcule l’aire du triangle.

Aire d’un triangle isocèle : Formule de Héron

Une autre façon de calculer l’aire du triangle est d’utiliser la formule de Héron. Cette formule est très utile lorsque l’on connait tous les côtés du triangle. La formule de Héron prend la forme suivante :

Dans cette formule, p représente le demi-périmètre.

Le périmètre d’un triangle noté P est la somme de tous les côtés du triangle. C’est une mesure de la longueur des contours du triangle. Le demi-périmètre noté p représente donc la moitié de son périmètre.

Aire du triangle isocèle en utilisant la formule de Héron

Dans l’exercice ci-dessous, calculer l’aire du triangle isocèle ci-dessous :

Dans cet exemple, puisqu’on a les informations sur toutes les mesures des côtés du triangle, on applique directement la formule de Héron pour calculer l’aire du triangle.

Il est important de rappeler que la formule trigonométrique de l’aire du triangle pouvait toujours être utilisée, mais elle nécessiterait des calculs supplémentaires. Par exemple, on pouvait calculer un angle du triangle en utilisant la loi des cosinus puisque toutes les mesures des côtés du triangle sont connues.

Conseils et astuces relatifs à l’aire d’un triangle

• Il est important de connaître toutes les propriétés d’un triangle isocèle
• Il existe plusieurs formules pour calculer la surface d’un triangle isocèle : la formule générale, la formule trigonométrique et la formule de Héron
• Se souvenir des techniques de calcul suivant : la relation de Pythagore, les rapports trigonométriques (SOH-CAH-TOA), la loi des sinus et la loi des cosinus.
• Exercez-vous avec le plus d’exercices possible pour vous familiariser avec les concepts.
• Consultez la vidéo suivante pour une version audio sur la surface d’un triangle isocèle.

FAQ relative à l’aire d’un triangle

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