Aire d’un triangle rectangle

L’objectif est d’apprendre comment calculer l’aire d’un triangle rectangle de plusieurs façons différentes avec des exercices résolus.

Sommaire

Rappel et mise en contexte

Dans l’article précédent, nous avons vu comment calculer l’aire d’un triangle isocèle avec 3 formules différentes et en tirant profit des propriétés de celui-ci et des techniques de calcul des mesures manquantes telles que : la relation de Pythagore, les rapports trigonométriques, la loi des sinus et la loi des cosinus.

Dans cet article, nous allons également apprendre à calculer l’aire d’un triangle rectangle de plusieurs façons différentes avec plusieurs exemples. Nous profiterons pour faire un petit rappel sur les relations métriques dans un triangle rectangle, car ceci nous aidera pour calculer les mesures des côtés manquants. D’abord, il faut comprendre que le triangle rectangle est un triangle qui a toujours un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit est appelé hypoténuse. Les deux autres côtés sont des cathètes. Les cathètes dans un triangle rectangle sont toujours perpendiculaires. De ce fait, en tout temps, l’on peut considérer que l’une des cathètes correspond à la base et que l’autre cathète correspond à la hauteur du triangle.

Contrairement aux autres triangles, les trois formules permettant de calculer la surface d’un triangle ne sont pas toujours pertinentes pour un triangle rectangle, car il est toujours très facile de se ramener à la formule de base de la surface d’un triangle. Dans tous les cas, pour utiliser les autres formules, il est nécessaire de connaître la mesure des autres côtés et donc la base et la hauteur du triangle rectangle.

Formule générale de l’aire d’un triangle rectangle

La formule de la surface du triangle rectangle est la même que pour tous les triangles. La particularité réside dans les méthodes de calculs nécessaires pour obtenir les mesures des côtés manquants. En effet, le triangle rectangle ayant toujours un angle droit (angle égal à 90 degrés), ses cathètes sont toujours perpendiculaires. De ce fait, il est très facile d’identifier la base et la hauteur.

L’aire d’un triangle rectangle est donc le produit de la base du triangle par sa hauteur, le tout divisé par 2.

Dans la plupart des exercices de calcul de la surface d’un triangle rectangle, la hauteur et la base ne seront pas fournies. Ces mesures manquantes devront être calculées en utilisant le théorème de Pythagore, les rapports trigonométriques (SOH-CAH-TOA) ou les relations métriques.

Calculer l’aire d’un triangle rectangle à partir de la relation de Pythagore

Dans l’exemple ci-dessus, comment calculer l’aire d’un triangle rectangle :

Dans l’exercice, on voit qu’on n’a pas assez d’informations pour appliquer la formule de l’aire du triangle directement. Il faut donc trouver une façon de calculer la mesure du côté manquant. On utilise donc la relation de Pythagore.

Calculer l’aire d’un triangle rectangle à partir des rapports trigonométriques

Les rapports trigonométriques sont des formules faisant appel au sinus, cosinus et tangente d’un angle. Ils s’utilisent uniquement dans un triangle rectangle. Dans l’exemple suivant, comment calculer la surface du triangle rectangle suivant :

On se rappelle que dans un triangle rectangle, si l’on a la mesure d’un côté du triangle et d’un angle, alors on peut calculer la mesure de tous les angles du triangle et la mesure de tous les côtés en utilisant les rapports trigonométriques. En utilisant donc, SOH – CAH – TOA, on déduit la mesure de la base du triangle qui servira pour calculer l’aire du triangle.

Calculer l’aire d’un triangle rectangle à partir des relations métriques

Il existe trois relations métriques dans un triangle rectangle : le théorème de la cathète, le théorème de la hauteur relative à l’hypoténuse et le théorème du produit des cathètes. Ces relations ont déjà été expliquées avec des exemples résolus dans l’article sur les relations métriques dans un triangle rectangle.

Dans l’exemple ci-dessous, comment calculer la surface du triangle rectangle

Vous l’avez remarqué, cet exemple est un peu plus complexe, car il nécessite la maitrise de plusieurs techniques de calcul. Plusieurs étapes intermédiaires ont été nécessaires afin d’obtenir la base et la hauteur du triangle rectangle. On aurait pu utiliser seulement les relations métriques sans avoir recourt à la relation de Pythagore. Je vous laisse découvrir comment. Par exemple, on aurait pu commencer la résolution en utilisant d’abord le théorème de la hauteur relative à l’hypoténuse pour obtenir la mesure du côté BD, ensuite en utilisant le théorème de la cathète, on calcule la mesure du côté AC et la mesure du côté AB. Enfin, il ne nous reste plus qu’à appliquer la formule de la surface d’un triangle rectangle. Dans tous les cas, on obtiendrait le même résultat.

Conseil et astuces concernant l’aire d’un triangle rectangle

• L’aire du triangle rectangle se calcule de la même manière que celui d’un triangle quelconque
• On parle de surface du triangle ou aire du triangle
• Dans un triangle rectangle, trois formules sont souvent utilisées pour calculer les dimensions manquantes : la relation de Pythagore, les rapports trigonométriques et les relations métriques
• Consultez la vidéo explicative sur l’aire d’un triangle rectangle.

FAQ relative à l’aire d’un triangle rectangle

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