L’objectif est d’apprendre à utiliser la loi des cosinus dans un triangle afin de déterminer une mesure manquante d’un côté ou d’un angle dans un triangle quelconque.
Sommaire
Rappel et mise en contexte
Jusqu’ici, nous nous sommes principalement concentrés sur les relations mathématiques à l’intérieur d’un triangle rectangle. Nous avons vu plusieurs méthodes pouvant être utilisées pour déterminer des mesures manquantes dans ce type de triangle notamment: le théorème de Pythagore, les relations métriques et les rapports trigonométriques.
Maintenant, nous allons voir les relations mathématiques à utiliser lorsque le triangle n’est pas un triangle rectangle. À cet effet, citons entre autres la loi des sinus et la loi des cosinus.
Dans cet article, on parlera uniquement à loi des cosinus. Pour cela, définissons le vocabulaire associé à ce concept.
Le côté opposé à chaque angle est nommé par la lettre minuscule de son sommet opposé correspondant. À titre d’exemple, la lettre a correspond au côté opposé au sommet A ( donc à l’angle A) .
Loi des cosinus
La loi des cosinus s’énonce comme suit:
<< Dans un triangle quelconque ABC, le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, diminuée du double du produit des mesures de ces autres côtés par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés. >>
En d’autres termes, la loi des cosinus s’écrit à partir de l’équation suivante:
a2 = b2 +c2 – 2bc cos(A)
b2 = a2 +c2 – 2ac cos(B)
c2 = a2 +b2 – 2ab cos(C)
Pour chaque côté du triangle, on peut écrire la formule de la loi des cosinus.
Voyons maintenant comment nous pouvons calculer une mesure manquante avec la loi des cosinus.
Calcul d’une mesure manquante dans un triangle quelconque avec la loi des cosinus
Dans un triangle quelconque, la loi des cosinus permet de trouver :
- la mesure d’un côté du triangle lorsque les mesures des deux autres côtés et la mesure de l’angle qui lui est opposé (mesure de l’angle formé par les deux autres côtés) sont connues
- la mesure d’un angle du triangle lorsque les mesures des trois côtés sont connues.
Calcul d’une mesure manquante d’un côté du triangle avec la loi des cosinus
Dans un triangle quelconque, la loi des cosinus permet de déterminer la mesure des côtés manquants. Pour cela, il est nécessaire de connaître les mesures des deux autres côtés et la mesure de l’angle qui lui est opposé(mesure de l’angle formé par ces deux côtés).
Pour déterminer une mesure manquante dans un triangle quelconque avec la loi des cosinus, il faut suivre les étapes suivantes :
- Nommer les trois côtés du triangle par la lettre correspondante
- Le côté opposé à chaque angle est nommé par la lettre minuscule de son sommet opposé correspondant
- Identifier la mesure du côté manquant à chercher
- Vérifier si les deux autres mesures des côtés du triangle sont connues
- Vérifier si l’angle opposé à la mesure recherché est connue
- Cette angle devrait correspondre à la mesure de l’angle formé par les deux autres côtés dont les mesures sont connues.
- Utiliser la formule appropriée et calculer la mesure manquante
Considérons les exemples suivants :
En suivant la méthodologie précédente, on renomme les côtés du triangle par des lettres minuscules. Ensuite, on identifie la mesure recherché (coché en rouge) et on vérifie les autres informations (coché en noir), enfin on applique la formule appropriée.
Dans le premier exemple, toutes les mesures nécessaires aux calculs étaient déjà connues. Dans le deuxième exemple, l’angle opposé à la mesure manquante n’est pas une donnée du problème. On doit donc faire un calcul intermédiaire afin de trouver cet angle avant d’utiliser la loi des cosinus pour chercher la mesure manquante.
On se rappelle que dans un triangle, la sommes des angles est de 180 degrés. Puisque que l’on connaît déjà la mesure des deux autres angles du triangle, on déduit donc la mesure du troisième angle que l’on cherche.
Finalement, la mesure du côté EF se calcule avec la relation des cosinus.
Calcul d’une mesure manquante d’un angle du triangle avec la loi des cosinus
Dans un triangle quelconque, la loi des cosinus permet de déterminer la mesure d’un angle manquant. Pour cela, il est nécessaire de connaître les mesures de trois côtés du triangle.
Puisqu’il est nécessaire de connaître tous les mesures de tous les côtés du triangle, il est donc évident de savoir à quand utiliser la relation des cosinus.
La méthode de résolution est la même que la section précédente à la différence que la formule de la relation des cosinus à écrire est celle du côté opposé à l’angle recherché.
Considérons les exemples suivants :
Le calcul d’un angle dans un triangle quelconque avec trivial si l’on connaît les mesures de tous les côtés du triangle. À formule à utiliser celle du côté opposé à l’angle que l’on cherche.
Après avoir isolé le cosinus de l’équation, on calcule l’angle en utilisant la fonction réciproque inverse cosinus cos-1(x).
Contrairement au calcul d’angle avec la loi des sinus, il n’y a aucune question à se poser quand à la valeur de l’angle obtenu sur la calculatrice. La valeur obtenue avec la calculatrice sera toujours la bonne indépendamment de si l’on cherche un angle aigu (< 90°) ou obtus(< 90°).
La loi des cosinus est pour un triangle quelconque ce qu’est la relation de Pythagore pour le triangle rectangle.
Formules du calcul d’un angle manquant dans un triangle quelconque avec la loi des cosinus
D’après ce qui précède, si toutes les mesures des côtés du triangle quelconque sont connues, on peut calculer n’importe quel angle dans le triangle.
Par conséquent, on peut écrire directement les formules donnant les trois angles du triangle ci-dessous:
Essayez d’observer le lien entre ces formules. Elles sont assez simples à retenir.
Conseils et astuces sur la loi des cosinus
- La loi des cosinus s’utilise dans un triangle quelconque ou qui n’est pas un triangle rectangle
- Elle permet de calculer la mesure d’un côté manquant. Il est nécessaire de connaître les mesures des deux autres côtés et la mesure de l’angle qui lui est opposé
- Elle permet de calculer la mesure d’un angle manquant. Il est nécessaire de connaître les mesures de tous les côtés du triangles
- L’angle obtenu par la loi des cosinus avec la calculatrice est toujours le bon angle peu importe si l’on recherche un angle aigu ou obtus
- La loi des cosinus est pour un triangle quelconque ce qu’est la relation de Pythagore pour le triangle rectangle
- Dans un triangle, la somme des angles est de 180°. Si l’on connaît la mesure de deux angles, l’on peut calculer le troisième angle.
- Souvent, il est nécessaire d’utiliser la relation des cosinus deux fois dans le même triangle pour calculer la mesure manquante recherchée
- Il est aussi souvent nécessaire de combiner l’utilisation de la loi des cosinus et la loi des sinus pour résoudre un problème
- Si à la fin de la lecture de cours, vous ne comprenez toujours pas, vous pouvez soit consulter la vidéo explicative soit demander l’assistance d’un tuteur.
Vidéo explicative sur la loi des cosinus
Vous pouvez consulter cette vidéo afin de mieux comprendre comment utiliser la loi des cosinus
Si vous avez toujours des questions, consultez la foire aux questions ci-dessous.
FAQ sur la loi des cosinus
La loi des cosinus s’énonce comme suit: << Dans un triangle quelconque ABC, le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, diminuée du double du produit des mesures de ces autres côtés par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés. >>
Pour calculer la valeur d’un angle dans un triangle quelconque, on peut utiliser la loi des cosinus. Pour cela, il faut connaître toutes les mesures des côtés du triangle. Il faut utiliser les formules ci-dessous
La loi des sinus et cosinus sont utiliser pour calculer une mesure manquante dans un triangle quelconque. En fonction, des données connues du problème, on choisit l’une des deux méthodes.
La loi des cosinus est utilisé d’une part pour calculer la mesure d’un côté du triangle lorsque les mesures des deux autres côtés et la mesure de l’angle qui lui est opposé (mesure de l’angle formé par les deux autres côtés) sont connues et d’autre part, elle permet de calculer la mesure d’un angle du triangle lorsque les mesures des trois côtés sont connues.
Quant à La loi des sinus, elle est utilisée d’une part pour calculer la mesure d’un côté lorsque les mesures de deux angles et d’un côté sont connues et d’autre part, elle est utilisé pour calculer la mesure d’un angle lorsque la mesure de son côté opposé, d’un angle et d’un autre côté du triangle est connue.
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